Введение
Маркетинг относится в основном к сфере эмпирических исследований. Все что мы знаем о нем – либо опыт компаний, накопленный за десятилетия их работы на различных рынках, либо плоды исследований психологов, социологов, экономистов и других ученых. Предметом маркетинга, как научной дисциплины, является деятельность фирмы на рынке во всем ее беспредельном разнообразии. Отсюда сложность и неоднозначность рассуждений маркетологов, а также их скептицизм в отношении строгих математических выкладок которыми часто пользуются экономисты-теоретики или специалисты в области финансового анализа. Действительно, как переложить на язык чисел и формул, например, поведение сотен тысяч различных потребителей на рынке и учесть при этом идеи нескольких десятков специалистов, работающих в разных фирмах и стремящихся к различным целям?
И, тем не менее, в определенных ситуациях применение математических моделей для анализа маркетинговой деятельности фирмы или при исследовании рынков, не только возможно, но и может оказать существенную помощь разработчикам бизнес-планов компании, когда встанет вопрос об эффективности и рисковости инвестиций в тот или иной бизнес. Главное, чтобы в применяемых моделях производился надлежащий учет неопределенности относительно будущего состояния учтенных в модели параметров рынка.
В работах по маркетинговому моделированию (например, [1]) упомянутая неопределенность учитывается с введением в модель так называемых субъективных вероятностей, оценки которых получены как результат познавательной активности экспертов или экспертных групп. Подробнее о применимости вероятностных методов в экономичееских задачах см. [2]. Мы не хотели бы сейчас занимать внимание читателя дискуссионными вопросами о том, насколько вообще корректно и удобно применение вероятностей в экономическом анализе (в [2] этому посвящен отдельный раздел). Скажем лишь, что для нас сегодня более предпочтительным способом учета неопределенности является подход, основанный на математике нечетких множеств, заложенной 35 лет назад американским ученым Л.Заде.
Целью настоящей работы как раз и является раскрытие возможностей нечетко-множественного подхода в маркетинговом анализе, что будет подтверждено результатами расчетного примера.
Но сначала затронем общие вопросы теории маркетингового моделирования.
Построение маркетинговой модели
Любая модель является сильно упрощенным отражением действительности. Важно, чтобы это упрощение не сделало рассуждения исследователя тавтологичными. Этого следует избегать, тщательно описывая допущения (условия применимости) модели. Если допущения модели противоречат специфике объекта исследования (рынка того или иного товара), то модель используется некорректно.
В качестве примера приведем комплекс возможных допущений модели продаж на так называемом ограниченном рынке:
Все параметры маркетинговой модели мы условно разбиваем на три класса: экзогенные, промежуточные и целевые. Класс экзогенных параметров образуют те параметры рынка, которые по допущениям рассматриваются как внешние по отношению к построенной модели (например, число потребителей на рынке или зависимость интенсиности потребления от маркетинговых усилий компаний). То есть в модели предполагается, что никакое количественное изменение параметров модели не повлияет на величину экзогенных параметров. Все прочие (эндогенные) параметры модели, наоборот, являются функционально зависимыми от уровня экзогенных параметров. Эти внутренние параметры мы условно разбиваем на промежуточные (используемые во внутримодельных расчетах и не имеющие самостоятельной ценности для исследователя) и целевые (которые непосредственно контролируются исследователем, и по состоянию которых исследователь делает те или иные выводы о состоянии рынка).
Мы предполагаем далее, что разработанная исследователем маркетинговая модель является функциональной, т.е. все связи между параметрами модели вполне четко формализованы и имеют функциональное описание. Это было бы не так, если бы исследователь затруднялся описать некую модельную связь строго однозначно и воспользовался бы для формализации своего представления об объекте исследования нефункциональным аппаратом (например, схемой из арсенала нечеткой логики). В дальнейшем мы, упрощая задачу настоящей статьи, не будем касаться вопросов построения нефункциональной модели. Возможно, мы посвятим этому предмету специальную работу.
Если мы рассматриваем экзогенные параметры как точно измеряемые или оцениваемые величины, то такую модель можно назвать детерминированной или четкой. Но эта модель вне учета наличной информационной неопределенности не выдерживает проверки на корректность. Поэтому, когда четкая функциональная модель дополняется вероятностным описанием экзогенных параметров, то такую модель следует назвать вероятностной. Если же описание экзогенных параметров модели носит нечетко-множественный характер, то такую модель назовем нечеткой.
Раз модель, описываемая нами, является функциональной, то неопределеннность в отношении экзогенных параметров (назовем ее Е1) трансформируется в неопределенность относительно уровня целевых параметров (назовем ее Е2), причем если существует конструктивное описание неопределенности Е1, то конструктивное описание неопределенности Е2 может быть построено вполне точно. Так, например, если экзогенные параметры представляются в модели как случайные величины со своими законами распределения, то целевые параметры являются функциями случайных экзогенных параметров, а вероятностные распределения целевых параметров строятся на основе распределений экзогенных параметров при помощи импликативных вероятностных схем.
Пример 1. Пусть в нашей модели Х — экзогенный параметр с плотностью вероятностного распределения fX (x), а Y — целевой параметр, который функционально связан с Х как Y = X2. Тогда плотность распределения целевого параметра Y, согласно теории функций случайных величин, имеет вид:
(1)
Рассмотрим теперь, как учитывается неопределенность в маркетинговой модели с применением теории нечетких множеств.
Треугольные нечеткие числа, нечеткие последовательности и нечеткие функции
В настоящей публикации мы не имеем возможности дать развернутое изложение основ теории нечетких множеств. Однако, поскольку этот раздел математики еще не получил широкого распространения в экономических исследованиях, мы считаем своим долгом описать применяемые здесь математические объекты, относящиеся к этой теории.
Если некоторые экзогенные параметры маркетинговой модели обладают «размытостью», т.е. их точное планируемое значение неизвестно, тогда в качестве исходных данных уместно использовать так называемые треугольные нечеткие числа с функцией принадлежности треугольной формы (рис. 1). Эти числа моделируют высказывание следующего вида: «параметр А приблизительно равен и однозначно находится в диапазоне [amin, amax]». Основные понятия теории нечетких множеств см. в [3].
В общем случае под нечетким числом понимается нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности [3]. Такое описание позволяет разработчику маркетинговой модели взять в качестве исходной информации интервал параметра [amin, amax] и наиболее ожидаемое значение , и тогда соответствующее треугольное нечеткое число = (amin, , amax) построено. Далее будем называть параметры (amin, , amax) значимыми точками числа .
Тогда нечеткая последовательность — это просто набор нечетких чисел со своими функциями принадлежности, где каждому нечеткому числу взаимно однозначно соответствует порядковый номер, принадлежащий множеству целых положительных чисел. Если заместить в этом определении набор действительных чисел на несчетное множество точек оси действительных чисел (область определения), а набор нечетких чисел — на несчетное множество нечетких чисел (область значений), то легко перейти к определению нечеткой функции как взаимно-однозначному соответствию оси действительных чисел и несчетного множества нечетких чисел. Если все нечеткие числа из упомянутой области значений нечеткой функции являются треугольными, то существует конструктивный способ задания этй нечеткой функции тремя обычными функциями, построенными на значимых точках соответствующих функций принадлежности:
(2)
и тогда удобно называть соответствующую нечеткую функцию также треугольной.
На графике рис. 2 представлены три функции вида (2), отвечающие некоторой треугольной нечеткой функции. Область «размытости» представленной нечеткой функции продаж отмечена штриховкой.
Теперь, когда необходимые нам определения введены, изложим подход к трансформации исходной строго детерминированной модели в модель, построенную на нечеткостях.
Метод замещения четкой модели нечеткой моделью
Пусть некоторый целевой параметр в результате моделирования приобретает вид функции
A (t) = A (t | а1, m1; а2, m2;…; аN, mN), (3)
где t — модельное время, А = (а1, а2, …аN) — вектор экзогенных параметров, известных не вполне точно, M = (m1, m2,…, mN) — набор индикаторов монотонности, когда выполняется
(4)
Формула (3) представляет собой одно из описаний четкой модели. Дополнением к этой модели является нечеткое описание экзогенных параметров вектора А. Если мы их задаем треугольными нечеткими числами, тогда функция A (t) тоже является нечеткой. Будет ли она треугольной — это отдельный вопрос.
Чтобы получить конструктивное описание нечеткой функции при известных нечетких описаниях экзогенных параметров, применим сегментный способ, как это сделано в [2, 3]. Суть метода, применительно к двупараметрической задаче, состоит в следующем.
Зафиксируем значение модельного времени t0 и исследуем описание нечеткого числа A (t0) как функции двух нечетких параметров: и . Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a (см. рис. 1) и определим соответствующие этому уровню интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a1, a2] и [b1, b2], соответственно. Тогда алгебраические операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами — границами интервалов по следующим аксиоматическим правилам:
— операция «сложения»: [a1, a2] (+) [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2], (5)
— операция «вычитания»: [a1, a2] (-) [b1, b2] = [a1 — b2, a2 — b1], (6)
— операция «умножения»: [a1, a2] (x) [b1, b2] = [a1 x b1, a2 x b2], (7)
— операция «деления»: [a1, a2] (/) [b1, b2] = [a1 / b2, a2 / b1], (8)
— операция «возведения в степень»: [a1, a2] (^) i = [a1i , a2i]. (9)
Пример 2. Пусть A (t0 | А, m1 =1; В, m2 =1) = (А2 + В2)1/2 — нечеткая функция, где А = (2, 3, 4), В = (1, 2, 3) — треугольные нечеткие числа. Определим вид функции принадлежности нечеткой функции A в точке t0. При фиксированном уровне принадлежности a соответствующий интервал достоверности [A 1, A 2] для нечеткого числа A (t0) определяется в соответствии с (6) и (9) так:
[A 1, A 2] = ([a12 , a22] (+) [b12 , b22]) (^) (1/2) = [(a12 + b12)1/2, (a22+ b22)1/2] (10)
В таблице 1 приведены интервалы достоверности для различных уровней принадлежности a в диапазоне от 0 до 1 с шагом 0.1.
Таблица 1
a
[a1, a2]
[b1, b2]
[A 1, A 2]
0.0
[2, 4]
[1, 3]
[2.24, 5]
0.1
[2.1, 3.9]
[1.1, 2.9]
[2.37, 4.86]
0.2
[2.2, 3.8]
[1.2, 2.8]
[2.51, 4.72]
0.3
[2.3, 3.7]
[1.3, 2.7]
[2.64, 4.58]
0.4
[2.4, 3.6]
[1.4, 2.6]
[2.78, 4.44]
0.5
[2.5, 3.5]
[1.5, 2.5]
[2.92, 4.30]
0.6
[2.6, 3.4]
[1.6, 2.4]
[3.05, 4.16]
0.7
[2.7, 3.3]
[1.7, 2.3]
[3.19, 4.02]
0.8
[2.8, 3.2]
[1.8, 2.2]
[3.33, 3.88]
0.9
[2.9, 3.1]
[1.9, 2.1]
[3.47, 3.74]
1.0
[3, 3]
[2, 2]
[3.61, 3.61]
В самом общем случае функция треугольных чисел не есть треугольное число. Однако для большого разнообразия функций (как и для примера 2) функция принадлежности нечеткого числа A может быть приведена к треугольному виду, а сама нечеткая функция — признана треугольной.
Таким образом, мы получаем нечеткую функцию целевого параметра, приведенную к треугольному виду (например, объем продаж). В финансовом плане инвестиционного проекта этот параметр выступает уже как экзогенный, причем, поскольку в бизнес-плане бюджетирование проводится в дискретном времени, то вместо нечеткой функции финансовый план может использовать нечеткую последовательность объемов продаж, например, с поквартальной разбивкой. По аналогии с функциональной маркетинговой моделью мы заметим, что тогда точечные показатели эффективности инвестиционного проекта (скажем, чистая современная ценность проекта) являются треугольными нечеткими числами. Следовательно, можно решить задачу оценки риска инвестиций в подобный проект.
Источник: